Тема 5 - Проверка на хипотези при независими извадки

5.2. Поредица от стъпки за проверка на хипотези

5.4. Сравняване на средното равнище на две независими извадки (t-критерий на Стюдънт)

5.5. Сравняване на средното равнище на признака при повече от две независими извадки (дисперсионен анализ)

Голяма част от научните изследвания се отнасят до сравняване на разпределението на две или повече променливи величини. Така например типични за изследванията в областта на спорта са проблемите за сравняване на нивото на двигателните качества на различни категории спортисти, за съпоставяне на ефективността на различни методики на подготовка, за сравняване на ефекта на различни рекламни кампании, мнението на различни групи от потребители (в спортния маркетинг) и др.

Особеното на тези сравнения е, че изводите, които се правят, трябва да се отнасят до целите съвкупности, а данните, с които разполага изследователят, обхващат само извадка от нея. Поради това първоначално се формулират предположения – хипотези, и се прави проверка дали данните от извадката ги потвърждават или отхвърлят. Така например отговорът на въпроса има ли разлика в ефекта на две тренировъчни методики може да бъде сведен до две предположения – “не, няма разлика в ефекта им” и “да, има разлика”. Тези две възможности изразяват съдържанието на двете статистически хипотези:

Нулева или работна (Н₀) - тя твърди, че няма статистически достоверна разлика в сравняваните статистически показатели (в двигателните способности на различни групи състезатели, ефекта на различни тренировъчни методики и др.) Въпреки, че в извадките може да се наблюдава известна разлика, тя е случайна и не може да бъде обобщена за генералните съвкупности.

Алтернативна хипотеза (Н₁), която твърди, че констатираната разлика в емпиричните данни е статистически достоверна и може да бъде обобщена за генералните съвкупности.

Решенията, които се вземат при проверката на статистически хипотези, имат вероятностен характер. Това се дължи на факта, че изследванията са репрезентативни, т.е. изводите за съвкупността се правят въз основа на изследване на относително малка част от нея. Приемането или отхвърлянето на нулевата хипотеза се прави с определена сигурност, като в същото време се допуска възможността за грешка.

Степента на сигурност, с която се приема за вярна алтернативната хипотеза, се нарича гаранционна вероятност (Р).

Рискът да се допусне грешка, като се приеме за вярна алтернативната хипотеза се нарича равнище на значимост ( α).

В практиката се използват следните стойности за гаранционната вероятност (Р) и равнище на значимост (a):

Р= 95%, на която съответства a = 0,05 (5% възможност за грешка).
Р= 99%, на която съответства a = 0,01 (1% възможност за грешка).
Р= 99,9%, на която съответства a = 0,001 (0,1% възможност за грешка).

В случай, че Р<95%, съответно a >0.05, за вярна се приема нулевата хипотеза. В противен случай – алтернативната.

Горе

5.2. Поредица от стъпки за проверка на хипотези

Общата процедура за проверка на статистически хипотези преминава през няколко поредни стъпки:

І стъпка - Формулиране на нулевата и алтернативната хипотеза.

Както вече бе споменато, нулевата (Ho) хипотеза гласи, че няма разлика в сравняваните статистически показатели. Ако емпиричните данни сочат известни различия, то те се дължат на случайни фактори. Противоположно е твърдението на алтернативната хипотеза, според която наблюдаваните в емпиричните данни различия (ефект, зависимост) са резултат на закономерно действащи фактори.

ІІ стъпка - Избор на подходящ критерий за проверка на хипотезата.

Хипотезите се проверяват със специфични критерии. За целта е необходимо да се познават условията, на които трябва да отговарят променливите величини, броят и видът на извадките и някои други особености, които са разгледани в следващия раздел.

ІІІ стъпка - Изчисляване на емпиричната стойност на критерия (Критерий_emp).

За всеки един критерий има разработена процедура за изчисляването му по данни от извадката.

ІV стъпка – Определяне на табличната стойност на критерия (Критерий a).

Тя се взема от приложение, в зависимост от степените на свобода (k) и равнището на значимост (a). Към статистическата литература има приложени таблици с критични стойности на критериите. В настоящото ръководство тези таблици се намират, приложени към съответната тема.

V стъпка – Вземане на решение.

За целта табличната (критичната) стойност на критерия се сравнява с емпиричната (изчислената по данни от извадката). Именно това сравнение дава основание да се направи извод коя от хипотезите (нулевата или алтернативната) е вярна. Възможностите са две:

Ако емпиричната стойност е по-малка от табличната за вярна се приема нулевата хипотеза (Н_о).

Ако емпиричната стойност е по-голяма или равна на табличната - нулевата хипотеза (Н_о) се отхвърля и за вярна се приема алтернативната хипотеза (Н₁).

Вземането на решение може да стане и въз основа на равнището на значимост (a), което съответства на емпиричната стойност на критерия, чиято стойност се изписва в разпечатките на SPSS:

Ако равнището на значимост (α) е по-голямо от възприетото (α> 0,05 (0,01 или 0,001) - няма основание за отхвърляне на нулевата хипотеза (Н_о)
Ако равнището на значимост (a) е по-малко или равно на възприетото (α ≤ 0,05 (0,01 или 0,001) - нулевата хипотеза (Н_о) се отхвърля в полза на алтернативната.

Както вече бе споменато, аналогична информация носи гаранционната вероятност P/%/, която при известно равнище на значимост се изчислява по формулата:

P/%/= (1 - a )*100

В такъв случай:

Ако гаранционната вероятност е по-малка от възприетата (95% или 99%) - за вярна се приема нулевата хипотеза (Н_о).
Ако гаранционната вероятност е равна или по-голяма от 95% (99%) - нулевата хипотеза се отхвърля и за вярна се приема алтернативната хипотеза.

Горе

5.3. Критерии за проверка на хипотези

Изборът на критерий за проверка на дадена хипотезата зависи от:

1. Използвания статистически метод и показатели, които се сравняват (за сравняване на средни аритметични, дисперсии, относителни дялове и др. се ползват различни критерии).

2. Естеството на променливите величини, които подлежат на обработка – на първо място е важно дали променливите са количествени или категорийни (качествени). Вторият фактор е нормално ли е разпределението на признака или не. От тази гледна точка са разработени две големи групи от статистически критерии:

Параметрични, които се прилагат при количествени (интервално и пропорционално скалирани) признаци, когато предварително е доказано, че разпределението е нормално.

Непараметрични – прилагат се при качествени (номинално и рангово) скалирани признаци, а така също, когато разпределението на количествен признак не е известно или не е нормално.

3. Вида на извадките, които подлежат на сравнение. От гледна точка на начина, по който са съставени, те биват:

Независими - когато изследваните лица от двете извадки са различни (сравняване на експериментална и контролна група, мъже-жени и др.)

Зависими са извадките, когато единиците от едната извадка предопределят тези във втората. Типичен случай са изследванията за сравняване на променливи преди и след някакво въздействие. Очевидно е, че експерименти от такова естество са коректни само в случай, че изследваните лица (единици) от първото и второто изследване са едни и същи.

4. Броя на извадките, които се сравняват.

В таблица 5.1 е направена систематизация на основите критерии, които се ползват при научни изследвания в спорта.

Таблица 5.1.

Група	Променливи величини	Брой на извадките	Вид на извадките	Критерии за проверка на хипотези
Параметрични	Количествени, които имат нормално разпределение	Две	Независими	t-критерий на Стюдънт за независими извадки
		Две	Зависими	t -критерий на Стюдънт за зависими извадки
		Три и повече	Независими Зависими	F-критерий на Фишер (дисперсионен анализ) F-критерий на Фишер (дисперсионен анализ за повтарящи се наблюдения)
Непараметрични	Алтернативни	Две	Независими	U-критерий на Стюдънт
	Алтернативни	Две	Зависими	c²- критерий на Мак Немар
	Номинални	Две и повече	-	c²-критерий на Пирсън
	Рангови и количествени, които имат ненормално разпределение	Две	Независими	U-критерий на Ман Уитни
		Две	Зависими	T-критерий на Уилкоксън
		Три и повече	Независими	Критерий на Кръскал Уолис
		Три и повече	Зависими	c²- критерий на Фридман

Горе

5.4. Сравняване на средно равнище на признака при две независими извадки

t -критерий на Стюдънт за независими извадки

Той се прилага за проверка на нулевата хипотеза за сравняване на средни аритметични величини , когато:

Признаците са количествено измерими.
Имат нормално разпределение.
Извадките са две и са независими.

Нулевата хипотеза твърди, че няма статистически достоверна разлика в сравняваните средни стойности.

Емпиричната стойност на критерия се изчислява (t_emp) по формула:

(5.1)

където:

и - ср. аритметични в извадките

S₁² и S₂²– дисперсии в извадките

п₁ и п₂ – обем на извадките

Определя се таблична стойност на критерия (t_a) от приложение 6, в зависимост от равнището на значимост (a) и степените на свобода k=n₁ + п₂– 2.

Проверява се верността на нулевата хипотеза по условието:

Ако t_emp< t_a (a >0,05 или P/t/<95%) е вярна нулевата хипотеза.
При t_emp ≥ t_a (a ≤ 0,05 или P/t/ ≥95%) е вярна алтернативната

Горе

5.5. Сравняване на средно равнище на признака на три и повече независими извадки

F-критерий на Фишер (еднофакторен дисперсионен анализ)

Дисперсионният анализ представлява метод за проверка на хипотезата за сравняване на средното равнище на признака на три и повече извадки (). Резултатът от сравнението дава възможност да се прави заключение дали даден фактор влияе върху изследвания признак. Така например, ако се сравнява взривната сила на долните крайници на спортисти с различна спортна специалност, от една страна, може да се установи има ли достоверна разлика във въпросното качество на различните групи спортисти, а от друга, да се получи информация доколко факторът “вид спорт” влияе върху отскокливостта.

Прилагането на дисперсионния анализ е коректно когато:

Променливата, която се изследва, е количествена, а факторът - изразен в номинална или ординална скала (за примера - взривната сила на долните крайници е пропорционално скалирана променлива, а видът спорт – номинално скалирана).
Извадките са независими (за примера – състезателите от отделните видове спорт са са различни.
Разпределението на признака е нормално и с приблизително еднакви дисперсии.

Логиката на дисперсионния анализ се основава на разлагане на общата вариация (дисперсия) на променливата (отклоненията на всички стойности от тяхната обща средна) на две важни компоненти:

Вътрешногрупова дисперсия, изразяваща се във индивидуални отклонения на стойностите от средната в рамките на дадена категория, група (за примера - даден вид спорт).
Междугрупова дисперсия - отклоненията на груповите средни от общата средна аритметична.

Колкото по-силно действа факторният признак, толкова по-големи ще са разликите между средните аритметични величини на групите и междугруповата вариация.

Емпиричната стойност на F–критерия на Фишер се изчислява по формула:

(5.2)

Където:

S²_m –междугрупова дисперсия

S²_b – вътрешногрупова дисперсия

Таблична стойност на критерия F_a се отчита от приложение 5 в зависимост от равнището на значимост a =0,05 и степени на свобода както следва:

за междугруповата дисперсия k₁=m–1 (където m е броят на сравняваните групи).

за вътрешногруповата дисперсия k₂=n - m.

Проверява се верността на нулевата хипотеза по условието:

Ако F_emp< F_a (a >0,05 или P/F/<95%) е вярна нулевата хипотеза.
При F_emp ≥ F_a (a ≤ 0,05 или P/F/ ≥95%) е вярна алтернативната

Установяването на верността на алтернативната хипотеза не уточнява между кои средни се наблюдава достоверна разлика. Това означава, че средните на групите трябва да се сравнят по двойки с t-критерия на Стюдънт за независими извадки. Друга възможност дават т. нар. Post Hoc статистики. Една от най-често използваните е Tukey’s Honestly Significant Difference (HSD). В резултат на прилагане на определена процедура се получава минималната разлика в средните, която гарантира статистическа достоверност на различията между групите.

Горе